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换句话说： 排列是有序的组合。
排列有两种基本排列：
一、重复排列这是最容易计算的。 当一个东西有 n个不同类型时 …… 我们每次就有 n 个选择！ 例如：选 3个，排列是： n × n × n 一般来说：从有 n个不同类型的东西里选 r个的排列是： n × n × ...（r次） （换句话说，选第一个时有 n个可能，然后选第二个时也有 n个可能，依此类推，每次乘以 n。） 用 r 的指数来写比较简单： n × n × …… （r次） = nr 例子：暗码锁的暗码有三个数字，每个数字可以是（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）里的其中一个： 10 × 10 × … （3次） = 103 = 1,000个排列 公式就是：
二、不重复排列在这个情况下，每选一个后我们就要把选择的可能减少一个。 例如，16个桌球有几个不同次序的排列？ 选了 "14" 号球后，我们不能再选它，所以剩下来的选择可能就少了一个。 因此：第一个由 16个可能，第二个只有 15个可能，接下来就是 14，13 等等。排列的总数是： 16 × 15 × 14 × 13 × … = 20,922,789,888,000 但我们可能只需要选 3个球，所以排列个数只是： 16 × 15 × 14 = 3,360 换句话说，有 3,360 不同的方法去从 16个球里排列 3个球。 不可以重复，选择可能每次减少一个。 怎样用数学语言来描述呢？答案：用 "阶乘函数"
所以，选所有桌球的排列是： 16! = 20,922,789,888,000 但如果我们只选 3个，我们不需要乘以 14 以下的数。我们怎样表达这个呢？除以 13!
留意 16! / 13! = 16 × 15 × 14 公式是：
例子："16个球里排列 3个"是：
（等于： 16 × 15 × 14 = 3,360） 例子：10个人里可以有几个第一和第二的排列？
（等于： 10 × 9 = 90） 记法还有更简单的记法，不需要把整个公式写出来： 例子：P(10,2) = 90 组合有两种组合（次序不重要）：
一、重复组合这个最难解释，我们待会儿再讲。 二、不重复组合这就是彩票背后的原理。数字逐个抽出来，如果抽出我们选择了的号码（不论次序），我们就中奖了！ 最简单的解释是：
回到上面桌球的例子，假设我们只需要知道选了哪 3个桌球，而次序不重要。 上面计算量 16 选 3 有 3,360个不同排列。 但如果次序不重要，其中很多排列就变成相同的了！ 例如，假设选了 1、2 和 3 号球。有以下可能：
所以排列比组合有大 6倍的可能。 我们可以用上面排列的公式来计算 "1 2 3" 可以有几个不同排列。答案是： 3! = 3 × 2 × 1 = 6 （另一个例子：4样东西可以有 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 个不同排列方法。你可以自己去试试！） 因此，如果次序不重要，我们就需要把排列的公式以选择出来的东西的排列个数减小： 这个公式非常重要，它有自己的记法：
通常可以这样说："n 取 r"（例如 "16 取 3"） 也称为二项系数。 记法除了用上面的 "大括号"，也可以用以下的记法： 要牢记这个公式： n!r!(n − r)! 例子桌球的例子就是（次序不重要）：
也可以这样做：
留意公式的对称: 换句话说，16 取 3 和 16 取 13 是相等的。想想：每一次选要的 3个时，你也选了剩下的 13个不要，所以 选 3个和选 13个的组合个数是相同的。
杨辉三角我们也可以用杨辉三角来计算这些数值。去第 "n" 行（顶行是第 0），然后向右 "r" 个位就是合适的数值。这是第 16行附近： 1 14 91 364 … 一、重复组合现在我们来看重复组合 …… 有五种冰激凌口味：香蕉、巧克力、柠檬、草莓和香草。 我想要三球（节食？什么节食？）。有几个选择？ 我们用英语字母来代表口味：{b, c, l, s, v}。这是一些选择：
（就是：从 n=5个东西里选 r=3个。 我不可以描述怎样计算答案，但我可以告诉你一个特别技巧。 想象冰激凌在桶五个桶里。我们可以说："向右移到下一个桶，挖三球，再移过三个桶"。这样就有 3球巧克力了！ 就好像命令一个机械人去挖冰激凌！ 我们可以用图来显示： 上面的三个例子就是这样： 我们现在可以不考虑口味，我们有一个更简单的问题："有几个方法排列箭头与圆？" 注意一定有 3个圆（3个球）和 4个箭头（向右移 4次）。 所以有 r + (n−1) 个位置，而我们要在 r个位置放个圆。 就像："有 r + (n−1)个桌球，我们要选 r个"。现在问题和上面的桌球例子一样，不过数字有点不同：
如果我们选箭头，就是 "有 r + (n−1)个位置，要在 (n−1)个位置放个箭头"，答案是一样的： 那么，这个例子的答案是多少？
有 35个不同的组合去在 5种口味里选 3球冰激凌。 结论我们讲了很多。我建议你再看一遍这个页面！ 但是，了解这些公式背后的原理只是个开始，在现实生活里应用这些公式也不容易。 至少你现在懂得怎样计算这 4个情况的排列与组合了："次序重要/不重要" 以及 "可/不可重复". |
5个 里面 选3个
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