某次段考後老師將全班的分數依下列方式調整:已知每個人調整後的分數都不低於原始分數且調整後全班的平均為70分標準差為6分有五位同學仍

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5. 某次段考的成績普遍低落，老師決定用一次函數來調整分數，將全班最低分20分調整為45分， 最高分50分調整為90分，則原來分數40分，調整之後是多少分？
(A) 60
(B) 65
(C) 70
(D)75
(E) 80

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高一數學- 101 年 - 101上1高一數學 - 雲林縣國立北港高中101 上學期高一數學第一次段考(期中考)#52396

答案：D
難度： 非常簡單

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懸賞詳解

X

高一數學

5.下列哪一個是x的多項式？ (A) (B)4x－5y (C) (D) ...

10 x

懸賞詳解

X

高一數學

一、單選題：(每題5分，共50分)【題組】8.設 則點坐標為 ...

10 x

Recursive Method

繁中「遞迴法」、簡中「递归法」、本站「遞歸法」。重複運用相同手法，縮減問題範圍，直到釐清細節。

UVa 10994 10212 10471 10922

範例：碎形（Fractal）

利用相同手法繪圖，繪圖範圍越來越精細。

圖中的碎形稱作Sierpinski triangle。凡是尖端朝上的正三角形，就在當中放置一個尖端朝下的正三角形；放置之後，圖形就變得更細膩，範圍就變得更小了。

圖中的碎形稱作Kosh snowflake。一條邊三等分，去除中段，朝外補上兩段，形成尖角。

圖中的碎形稱作Pythagoras tree。不斷繪製正方形、直角三角形，看起來像是一棵茂密的樹。

UVa 177 10609

範例：質因數分解（Integer Factorization）

不斷抽取出質因數，使數值不斷變小，直到成為質因數。

範例：L形磁磚

有一個邊長為2的3次方的正方形，右上角缺了一角邊長為1的正方形。現在要以L形磁磚貼滿這個缺了一角的正方形，該如何貼呢？

巧妙地將一塊L形磁磚放在中央的位置，就順利的把正方形切成四個比較小的、亦缺了一角的正方形。接下來只要遞迴處理四個小正方形，就解決問題了。

這個問題也可以改成缺口在任意一處，各位可以想想看怎麼解。

UVa 10230

範例：輾轉相除法（Euclid's Algorithm）

兩個數字輪流相除、求餘數，最後就得到最大公因數（greatest common divisor, gcd）。相信大家小時候都有學過。

我們可以把最大公因數想像成磚塊、把兩個數字都看成是最大公因數的倍數。

兩數相減所得的差值，一定是最大公因數的倍數。更進一步來說，兩數相除所得的餘數，一定是最大公因數的倍數。輾轉相除法的過程當中，兩數自始至終都是最大公因數的倍數。

運用這個性質，我們把兩數相除、求餘數，使得原始數字不斷縮小，直到得到最大公因數。真是非常巧妙的遞歸法！

注意到：遞推法、遞歸法，不等於程式語言的迴圈、遞迴。遞推法、遞歸法是分析問題的方法，用來得到計算過程、用來得到演算法。至於編寫程式時，我們可以自由地採用迴圈或者遞迴。

範例：過橋問題（Bridge and Torch Problem）

月黑風高的夜晚，有一座不長不短的獨木橋，只能同時容兩人併行。

此時正好有四個寂寞難耐、悲苦淒涼，事實上是窮極無聊的四個人路經此地。他們手邊僅帶著一支手電筒，想要通過這危險的獨木橋。那橋下可是暗潮洶湧，一失足成千古恨，奔流到海不復回。

幸好四人閒閒沒事就常走這座橋，對路況簡直熟悉到不行，閉著眼睛走都可以，於是乎四人知道自己過橋分別需時1分鐘、2分鐘、5分鐘、10分鐘。但是不管他們的腳程不可思議的快、莫名其妙的慢，四人都是貪生怕死之徒，要是手上沒有握著手電筒，誰都不敢過橋；四人也都是視財如命之徒，就是誰也不想浪費錢，去附近的便利商店買支手電筒，寧可摔到水裡隨波逐流環遊世界去。

最後他們只好協議說，一次兩人同時持手電筒過橋，再請其中一人送回手電筒，沒事做的人就在橋邊哭爹喊娘等手電筒回來，如此一來四人最終都能夠順利過橋。

兩人同時過橋時必須配合走得慢的人的速度，請問全員過橋最快要多久時間？

有一些規矩你是知道的，例如不能把手電筒用丟的丟過河，不能四個人疊羅漢一起過橋，不能把橋拆了做木筏之類的。

題目終於說完了，現在來談解題手法：

腳程快的人送手電筒回來那是最好的；相對地，腳程慢的人就應該讓他留在彼岸不要回來。不管先走後走，人人都還是要過橋，所以先試試看把腳程最慢的人送到對岸吧！

當人數眾多，至少四人時，令A與B是最快與次快，C與D是次慢與最慢。讓最慢的兩個人過橋主要有兩種方式，第一種是AB去A回、CD去B回，第二種是AD去A回、AC去A回，至於其它方式所花的時間恰好跟這兩種方式一樣。採用比較快的那一種方式，讓最慢的兩個人過橋之後，問題範圍就縮小了。

UVa 10037

範例：不重複組合（Combination）

從N個人抓M個人出來組團，有哪些組團方式呢？

N個人當中的其中一個人，叫做甲君好了。我們將所有組團方式分類成兩種情形：甲君在團中、甲君不在團中。兩種情形綜合起來就是答案。

甲君在團中：演變成剩下N-1個人還要抓M-1個人出來組團。

甲君不在團中：演變成剩下N-1個人仍要抓M個人出來組團。

兩種情形正好等同原問題，問題範圍縮小了，形成遞歸。

範例：河內塔（Tower of Hanoi）

三根柱子、一疊盤子，盤子大小皆不同。盤子中間還得打個洞，這樣盤子才能穿在柱子上。所有盤子都疊在第一根柱子，大的在下面，小的在上面。現在要將整疊盤子移到第三根柱子。每次只能搬動一個盤子到別根柱子，而且大的盤子一定要保持在小的盤子下面。

想要移動最大的盤子到第三根柱子，必須先挪開上方整疊盤子到第二根柱子。移動上方整疊盤子，正好等同原問題，問題範圍縮小了，形成遞歸。

解題過程因而簡化成三個步驟：一、上方整疊盤子移到第二根柱子；二、最大的盤子移到第三根柱子；三、方才的整疊盤子移到第三根柱子。

UVa 10017

遞推法、遞歸法，一體兩面，同時存在。

遞推法與遞歸法恰好顛倒：遞推法是針對已知，逐步累積，直至周全；遞歸法是針對未知，反覆拆解，直至精確。

遞推法是由小到大，遞歸法是由大到小。

範例：多項式函數求值（Horner's Rule）

遞推法是不斷配x，擴增已知；遞歸法是不斷提x，減少未知。

a ⋅ x² + b ⋅ x¹ + c

Iterative Method:
{a} ⋅ x² + b ⋅ x¹ + c
{a, ⋅x} ⋅ x¹ + b ⋅ x¹ + c
{a, ⋅x, +b} ⋅ x¹ + c
{a, ⋅x, +b, ⋅x} + c
{a, ⋅x, +b, ⋅x, +c}

Recursive Method:
{a ⋅ x² + b ⋅ x¹ + c}
{a ⋅ x² + b ⋅ x¹}, +c
{a ⋅ x¹ + b}, ⋅x, +c
{a ⋅ x¹}, +b, ⋅x, +c
{a}, ⋅x, +b, ⋅x, +c

雖然遞推法與遞歸法的推理方向是相反的，但是遞推法與遞歸法的計算方向是一樣的，兩者都是由小範圍算到大範圍。

Iterative Method:
a, ⋅x, +b, ⋅x, +c

Recursive Method:
a, ⋅x, +b, ⋅x, +c

UVa 498 10268

範例：巴斯卡三角形（Pascal's Triangle）

不重覆組合的所有答案，排列成三角形。

每一格的答案，由左上格（甲君在團中）、右上格（甲君不在團中）相加而得。從上往下是遞推，從下往上是遞歸。

UVa 369 485

範例：爬樓梯

眼前有五階樓梯，一次只能踏一階或踏兩階，那麼爬到五階總共有哪幾種踏法？例如(1,1,1,1,1)是其中一種踏法，(1,2,2)是另一種踏法。

這個問題可以用遞推法，也可以用遞歸法。

首先採用遞推法。試著只爬少少的幾階樓梯，觀察一下踏法。

爬到一階的踏法：很明顯的只有一種，(1)。

爬到兩階的踏法：有兩種，(1,1)和(2)。

爬到三階的踏法：因為一次只能踏一階或踏兩階，所以只可能從第一階或從第二階踏上第三階。只要綜合(爬到一階的踏法,2)與(爬到兩階的踏法,1)，就是爬到三階的踏法。

爬到四階的踏法：同理，綜合(爬到兩階的踏法,2)與(爬到三階的踏法,1)即得。

遞推下去，就可求出爬到五階的踏法。

Forward Iterative Method:
爬到一階　(1)
爬到兩階　(1,1) (2) 
爬到三階　即是(爬到一階,2)與(爬到二階,1)
　　　　　(1,2)
　　　　　(1,1,1) (2,1)
爬到四階　即是(爬到二階,2)與(爬到三階,1)
　　　　　(1,1,2) (2,2)
　　　　　(1,2,1) (1,1,1,1) (2,1,1)
爬到五階　即是(爬到三階,2)與(爬到四階,1)
　　　　　(1,2,2) (1,1,1,2) (2,1,2)
　　　　　(1,1,2,1) (2,2,1) (1,2,1,1) (1,1,1,1,1) (2,1,1,1)

前面是採用上樓梯的順序進行遞推，由第一階遞推到第五階。也可以採用下樓梯的順序進行遞推，由第五階遞推到第一階。

Backward Iterative Method:
降到四階　(1)
降到三階　(1,1) (2)
降到二階　即是(2,降到四階)與(1,降到三階)
　　　　　(2,1)
　　　　　(1,1,1) (1,2)
降到一階　即是(2,降到三階)與(1,降到二階)
　　　　　(2,1,1) (2,2)
　　　　　(1,2,1) (1,1,1,1) (1,1,2)
降到平面　即是(2,降到二階)與(1,降到一階)
　　　　　(2,2,1) (2,1,1,1) (2,1,2)
　　　　　(1,2,1,1) (1,2,2) (1,1,2,1) (1,1,1,1,1) (1,1,1,2)

有一些問題，比如爬樓梯問題，雙向都可以遞推。數值由小到大的方向稱為「正向」或「順向」（forward），數值由大到小的方向稱為「反向」或「逆向」（backward）。

接著採用遞歸法。由踏出的最後一步開始分析。

要「爬到五階」，最後一步一定是踏上第五階。要踏上第五階，只可能從第四階和第三階踏過來，也就是綜合(爬到四階的踏法,1)與(爬到三階的踏法,2)。

但是我們尚不知如何「爬到四階」和「爬到三階」，所以只好再分別研究「爬到四階」與「爬到三階」。不斷追究到「爬到一階」與「爬到兩階」的時候，就能確認答案了！

Forward(?) Recursive Method:
爬到五階　即是(爬到四階,1)與(爬到三階,2)
爬到四階　即是(爬到三階,1)與(爬到二階,2)
爬到三階　即是(爬到二階,1)與(爬到一階,2)
爬到兩階　(2) (1,1)
爬到一階　(1)

當然也可以雙向遞歸。就不贅述了。